YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng DE/căn(BC . AC) + EF /căn(AC . AB) + FD/căn(AB . BC) ≤ 3/2

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tại D,E,F. chứng minh rằng

\(\dfrac{DE}{\sqrt{BC.AC}}+\dfrac{EF}{\sqrt{AC.AB}}+\dfrac{FD}{\sqrt{AB.BC}}\le\dfrac{3}{2}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Đậu Đại Học

    A B C D E F I S A B C D E H.b

    Dễ dàng chứng minh IC,IA,IB lần lượt vuông góc với DE,EF,DF

    nên \(DE=2DS=2CD.\sin\dfrac{C}{2}=\left(a+b-c\right).\sin\dfrac{C}{2}\)

    tương tự với EF và DF,ta cần chứng minh :

    \(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right).\sin\dfrac{C}{2}}{\sqrt{ab}}\le\dfrac{3}{2}\)

    có bổ đề :\(\sin\dfrac{A}{2}\le\dfrac{a}{b+c}\) ( H.b)( tự chứng minh)

    nên BĐT cần chứng minh : \(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right).c}{\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\le\dfrac{3}{2}\)

    AM-GM: \(\left(a+b\right)\sqrt{ab}\ge2\sqrt{ab}.\sqrt{ab}=2ab\)

    Tương tự: \(VT\le\sum\dfrac{\left(a+b-c\right)c}{2ab}=\dfrac{\sum ab\left(a+b\right)-\sum a^3}{2abc}\)

    Áp dụng BĐT schur: \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le a^3+b^3+c^3+3abc\)

    ( cm : \(\Leftrightarrow\sum a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\ge0\) và ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)...Google để chi tiết )

    \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

    Dấu = xảy ra khi a=b=c.( a,b,c>0)

    P/s: để ý rằng \(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right)c^2}{2abc}=\sum\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)a}{2abc}=\sum\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\sum\cos A\)

      bởi Đậu Đại Học 24/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF