YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng căn(a^2+b^2/c)+căn(b^2+c^2/a)+căn(a^2+c^2/b)≥2(a/căn(b^2+c^2)+b/căn(a^2+c^2)+c/căn(a^2+b^2))

Cho a, b, c > 0. CMR :

\(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}+\dfrac{\sqrt{a^2+c^2}}{b}\ge2\left(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Phan thị thúy hằng Thúy hằng

    Lời giải:

    Đặt \(\left ( \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c},\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}, \frac{\sqrt{c^2+a^2}}{b} \right )=(x,y,z)\)

    BĐT cần chứng minh tương đương với:
    \(x+y+z\geq 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\((*)\)

    ------------------------------------------------------------------

    Từ cách đặt $x,y,z$ ta có:

    \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}=1\)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

    \(\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{y^2+1}{y^2}+\frac{z^2+1}{z^2}=\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\right)\left(\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{y^2+1}{y^2}+\frac{z^2+1}{z^2}\right)\)

    \(\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)

    \(\Leftrightarrow 3\geq 2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)

    \(\Leftrightarrow xyz\geq \frac{2}{3}(x+y+z)\)

    \(\Rightarrow xyz(x+y+z)\geq \frac{2}{3}(x+y+z)^2\)

    Áp dụng BĐT AM_GM ta lại có:

    \((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\). Do đó:

    \(xyz(x+y+z)\geq 2(xy+yz+xz)\)

    \(\Leftrightarrow x+y+z\geq 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

    Đúng theo \((*)\)

    Do đó ta có đpcm

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

      bởi Phan thị thúy hằng Thúy hằng 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF