YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng |a−b/a+b + b−c/b+c + c−a/c+a∣

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:

\(\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|< \frac{1}{8}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Hồng Thắm

    Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{matrix}\right.\). Khi đó ta có:

    \(\sum_{cyc}\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sum\limits_{cyc}(a-b)(a+c)(b+c)}{\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\frac{\sum\limits_{cyc}(a-b)(c^2+ab+ac+bc)}{\prod\limits_{cyc}(a+b)}\)

    \(=\frac{\sum\limits_{cyc}(a-b)c^2}{\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\frac{(y-x)(z-x)(z-y)}{\prod\limits_{cyc}(2x+y+z)}\)

    Cần chứng minh \((2x+y+z)(2y+x+z)(2z+x+y)\geq22\left|(x-y)(x-z)(y-z)\right|\)

    BĐT cuối đối xứng nên ta giả sử \(x\le y\le z\) và \(\left\{{}\begin{matrix}y=x+u\\z=x+v\\v=ku\end{matrix}\right.\)

    *)Xét \(k=1\) BĐT luôn đúng

    *)Xét \(k>1\) tức là ta cần chứng minh

    \((4x+u+v)(4x+2u+v)(4x+u+2v)\geq22uv(v-u)\)

    Lại có \((4x+u+v)(4x+2u+v)(4x+u+2v)>(u+u)(2u+v)(u+2v)\)

    Vậy còn phải chứng minh \((k+1)(2k+1)(k+2)\geq22(k-1)k\)

    \(\Leftrightarrow 2k^3-15k^2+29k+2\geq0\)

    Đúng với AM-GM \(2k^3+29k+2>2k^3+29k\geq2\sqrt{2\cdot29}k^2>15k^2\)

      bởi Hồng Thắm 28/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF