YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng 52/27≤a^2+b^2+c^2+2abc

Cho tam giác ABC có 2 cạnh là a, b, c có chu vi bằng 2.

CMR : \(\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Dương Nhóc's

    Lời giải:

    Đặt biểu thức là $A$

    Vế đầu tiên:

    Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có:

    \(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)

    \(\Leftrightarrow abc\geq (a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)\)

    \(\Leftrightarrow abc\geq (2-2a)(2-2b)(2-2c)\)

    Thực hiên khai triển:

    \(abc\geq 8-8(a+b+c)+8(ab+bc+ac)-8abc\)

    \(\Leftrightarrow 9abc\geq 8(ab+bc+ac)-8\) \(\Rightarrow 2abc\geq \frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)

    Do đó:

    \(A=a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)

    \(\Leftrightarrow A\geq (a+b+c)^2-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)

    \(\Leftrightarrow A\geq 4-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}=\frac{20}{9}-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)\)

    Mà theo hệ quả của BĐT Am-Gm:

    \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{4}{3}\)

    \(\Rightarrow A\geq \frac{20}{9}-\frac{2}{9}.\frac{4}{3}=\frac{52}{27}\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

    Vế sau:

    Ta có: \(A<2\Leftrightarrow 2A<4\)

    \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+4abc<4\)

    \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+4abc< 2(ab+bc+ac)\)

    \(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+8abc<2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)

    \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+2abc< ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\)

    \(\Leftrightarrow a(ab+ac-a^2-bc)+b(ab+bc-b^2-ac)+c^2(b+c-a)>0\)

    \(\Leftrightarrow a(a-c)(b-a)+b(b-c)(a-b)+c^2(a+b-c)>0\)

    \(\Leftrightarrow (a-b)(b-a)(a+b-c)+c^2(a+b-c)>0\)

    \(\Leftrightarrow (a+b-c)[(c^2-(a-b)^2]>0\)

    BĐT trên luôn đúng do với $a,b,c$ là ba cạnh tam giác thì \(a+b>c\) và \(c>|a-b|\)

    Do đó ta có đpcm.

      bởi Dương Nhóc's 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF