YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng 2(b/a+c/b+a/c)≥1+a/1−a + 1+b/1−b + 1+c/1−c

Giả sử a , b , c là các số thực dương sao cho \(a+b+c=1\)

Chứng minh rằng \(2\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\right)\ge\dfrac{1+a}{1-a}+\dfrac{1+b}{1-b}+\dfrac{1+c}{1-c}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Hồ Quốc Huy

    \(2\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\right)\ge\dfrac{1+a}{1-a}+\dfrac{1+b}{1-b}+\dfrac{1+c}{1-c}\)

    Thay thế \(a+b+c=1\)

    \(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\right)\ge\dfrac{2a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+2b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+2c}{a+b}\)

    \(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\right)\ge\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}+3\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2c}{b}+\dfrac{2a}{c}\ge\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}+3\)

    \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2b}{a}-\dfrac{2b}{a+c}\right)+\left(\dfrac{2c}{b}-\dfrac{2c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{2a}{c}-\dfrac{2a}{b+c}\right)\ge3\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{2bc}{a\left(a+c\right)}+\dfrac{2ca}{b\left(a+b\right)}+\dfrac{2ab}{c\left(b+c\right)}\ge3\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{a\left(a+c\right)}+\dfrac{ca}{b\left(a+b\right)}+\dfrac{ab}{c\left(b+c\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(bc\right)^2}{abc\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{abc\left(a+b\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{abc\left(b+c\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

    Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số

    \(\Rightarrow\dfrac{\left(bc\right)^2}{abc\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{abc\left(a+b\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{abc\left(b+c\right)}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(a+b+c+a+b+c\right)}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc}\)

    Chứng minh rằng \(\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc}\ge\dfrac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)^2\ge6abc\)

    \(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\)

    \(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\ge3abc\)

    \(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\)

    \(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\ge3abc\)

    \(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b^2+b^2c^2\ge2\sqrt{a^2b^4c^2}=2ab^2c\\b^2c^2+c^2a^2\ge2\sqrt{a^2b^2c^4}=2abc^2\\a^2b^2+c^2a^2\ge2\sqrt{a^4b^2c^2}=2a^2bc\end{matrix}\right.\)

    \(\Leftrightarrow2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)

    \(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\) ( đpcm )

    Vì \(\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc}\ge\dfrac{3}{2}\)

    Vậy \(\dfrac{\left(bc\right)^2}{abc\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{abc\left(a+b\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{abc\left(b+c\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\right)\ge\dfrac{1+a}{1-a}+\dfrac{1+b}{1-b}+\dfrac{1+c}{1-c}\)( đpcm )

      bởi Hồ Quốc Huy 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON