YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng 1< a/căn(a^2+c) + b/căn(a+b^2) + c/căn(c^2+b)

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng

\(1< \dfrac{a}{\sqrt{a^2+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+b}}< 2\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Nguyễn Vĩnh Duy Duy

    Lời giải:

    Gọi biểu thức đã cho là $A$

    Vế đầu tiên:

    Vì \(a,b,c>0;a+b+c=1\Rightarrow a,b,c<1\)

    Do đó: \(a^2+c< a+c< a+b+c\)

    \(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+c}}>\frac{a}{\sqrt{a+b+c}}\)

    Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

    \(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+b}}>\frac{a+b+c}{\sqrt{a+b+c}}=1\)

    Vế sau:

    Ta có: \(a^2+c=a^2+c(a+b+c)> a^2+ca+c^2\)

    \(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+c}}< \frac{a}{\sqrt{a^2+ca+c^2}}\). Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại thu được:

    \(\Rightarrow A< \underbrace{\frac{a}{\sqrt{a^2+ac+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ba+a^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+bc+b^2}}}_{M}\) \((1)\)

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(M^2\leq (1+1+1)\left(\frac{a^2}{a^2+ac+c^2}+\frac{b^2}{b^2+ba+a^2}+\frac{c^2}{c^2+bc+b^2}\right)\)

    \(\Leftrightarrow M^2\leq 3\left(3-\frac{c^2+ac}{a^2+ca+c^2}-\frac{ab+a^2}{b^2+ab+a^2}-\frac{bc+b^2}{c^2+bc+b^2}\right)\)

    \(\leq 3\left(3-\frac{c^2+ac}{3ac}-\frac{ab+a^2}{3ab}-\frac{bc+b^2}{3bc}\right)\) (AM-GM)

    \(\Leftrightarrow M^2\leq 3\left[3-1-\frac{1}{3}(\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c})\right]\leq 3(3-1-1)\)

    (Do theo BĐT AM-GM: \(\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3\) )

    \(\Leftrightarrow M^2\leq 3\Rightarrow M\leq \sqrt{3}\) \((2)\)

    Từ \((1),(2)\Rightarrow A<\sqrt{3}< 2\)

      bởi Nguyễn Vĩnh Duy Duy 16/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF