YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng 1/a^2+1 + 1/b^2+1 +1/c^2+1>=3/2

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. CMR:

\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thật

    Lời giải:

    Không mất tổng quát giả sử \(c=\min (a,b,c)\)

    Khi đó, do \(ab+bc+ac=3\Rightarrow ab\geq 1\).

    Với $ab\geq 1$ ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\)

    Để cm bổ đề trên rất đơn giản. Quy đồng và biến đổi tương đương thu được \((a-b)^2(ab-1)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(ab\geq 1\) )

    Sử dụng bổ đề vào bài toán:

    \(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}=\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}(*)\)

    Giờ ta sẽ cm \(\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\geq \frac{3}{2}(**)\)

    \(\Leftrightarrow 2(2c^2+ab+3)\geq 3(abc^2+ab+c^2+1)\)

    \(\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\)

    \(\Leftrightarrow c^2+bc+ac\geq 3abc^2\)

    \(\Leftrightarrow c+b+a\geq 3abc\).

    BĐT trên đúng do theo AM-GM: \(3(a+b+c)=(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc\Rightarrow a+b+c\geq 3abc\) )

    Do đó $(*)$ được cm.

    Từ \((*),(**)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

      bởi Nguyễn Thật 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON