YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng 1/2x+y+6 + 1/2y+z+6 + 1/2z+x+6

cho x,y,z là các số thực dương tm xyz=8

cmr \(\dfrac{1}{2x+y+6}+\dfrac{1}{2y+z+6}+\dfrac{1}{2z+x+6}\le\dfrac{1}{4}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Hươngg Vũ

    Lời giải:

    \(\frac{1}{2x+y+6}+\frac{1}{2y+z+6}+\frac{1}{2z+x+6}\leq \frac{1}{4}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{6}{2x+y+6}+\frac{6}{2y+z+6}+\frac{6}{2z+x+6}\leq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow 1-\frac{2x+y}{2x+y+6}+1-\frac{2y+z}{2y+z+6}+1-\frac{2z+x}{2z+x+6}\leq \frac{1}{4}\)

    \(\Leftrightarrow A=\frac{2x+y}{2x+y+6}+\frac{2y+z}{2y+z+6}+\frac{2z+x}{2z+x+6}\geq \frac{3}{2}\)

    -----------------------

    Thật vậy. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(A=\frac{(2x+y)^2}{(2x+y)(2x+y+6)}+\frac{(2y+z)^2}{(2y+z)(2y+z+6)}+\frac{(2z+x)^2}{(2z+x)(2z+x+6)}\)

    \(\geq \frac{(2x+y+2y+z+2z+x)^2}{ (2x+y)(2x+y+6)+(2y+z)(2y+z+6)+(2z+x)(2z+x+6)}\)

    \(\Leftrightarrow A\geq \frac{9(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)+18(x+y+z)}\)

    Ta sẽ cm \( \frac{9(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)+18(x+y+z)}\geq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{3(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)+18(x+y+z)}\geq \frac{1}{2}\)

    \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+8(xy+yz+xz)\geq 18(x+y+z)\)

    \(\Leftrightarrow (x+y+z)^2+6(xy+yz+xz)\geq 18(x+y+z)(*)\)

    Theo BĐT AM-GM: \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\)

    \(\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 24xyz\Rightarrow xy+yz+xz\geq 2\sqrt{6(x+y+z)}\)

    Đặt \(\sqrt{6(x+y+z)}=t\)

    Có \((x+y+z)^2+6(xy+yz+xz)\geq \frac{t^4}{36}+12t\geq 18.\frac{t^2}{6}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{t^3}{36}+12\geq 3t\)

    \(\Leftrightarrow t^3-108t+432\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (t-6)^2(t+12)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(t\geq 0\) )

    Do đó ta có \((*)\), từ \((*)\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}\). CM kết thúc

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)

      bởi Hươngg Vũ 16/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF