YOMEDIA
NONE

Chứng minh bất đẳng thức x^2/y^2+y^2/x^2+4≥3(x/y+y/x

Chứng minh bất đẳng thức :

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Ngọc Hân

    Lời giải:

    Nếu $x,y$ trái dấu: Ta thấy vế trái luôn lớn hơn $0$, còn vế phải sẽ nhỏ hơn $0$ do \(x,y\) trái dấu thì \(\frac{x}{y}; \frac{y}{x}< 0\)

    Do đó \(\text{VT}> \text{VP}(1)\)

    Nếu $x,y$ cùng dấu:

    \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

    \(=t^2+2-3t=(t-1)(t-2)\) với \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

    Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương:

    \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

    \(\Rightarrow t-1>0; t-2\geq 0\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\)

    Hay \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\) (2)

    Từ $(1);(2)$ ta có đpcm

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y\neq 0\)

      bởi Ngọc Hân 26/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF