YOMEDIA
NONE

Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1, a^2/b+b^2/c+c^2/a≥3(a^2+b^2+c^2)

cm bất đẳng thức sau với a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

nhanh nhé mình cần gấp

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Phạm Trân

    Lời giải:

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

    \(\text{VT}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\) $(1)$

    Vì $a+b+c=1$ nên

    \(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+ab^2+b^3+bc^2+c^3+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)\)

    Áp dụng AM-GM:

    \(a^3+ab^2\geq 2a^2b\). Tương tự cho $2$ cặp còn lại suy ra:

    \(a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\)

    \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\) $(2)$

    Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 3(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

      bởi Phạm Trân 31/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF