YOMEDIA
NONE

Chứng minh bất đẳng thức a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca

Cho a,b,c,d,e \(\in\)\(R\) . Chứng minh các BĐT sau:

a/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca

b/ a2 + b2 +1 \(\ge\) ab + a + b

c/ a2 + b2 +c2 + 3 \(\ge\) 2( a + b + c)

d/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) 2( ab + bc - ca)

e/ a4 + b4 + c2 +1 \(\ge\) 2a( ab2 - a +c +1)

f/ \(\dfrac{a^2}{4}\)+ b2 + c2 \(\ge\) ab - ac +2bc

g/ a2 (1+b2) + b2 (1+c2) +c2 (1+a2) \(\ge\) 6abc

h/ a2 +b2+ c2+ d2+ e2 \(\ge\) a(b+c+d+e)

i/ \(\dfrac{1}{a}\)+ \(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\) \(\ge\) \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{bc}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\) , (a,b,c > 0)

j/ a+b+c \(\ge\) \(\sqrt{ab}\)+\(\sqrt{bc}\)+\(\sqrt{ca}\) ( a,b,c \(\ge\)0)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • hương moon

    a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

    \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

    \(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

    (Luôn đúng)

    Vậy ta có đpcm.

    Đẳng thức khi \(a=b=c\)

    b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

    \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

    \(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

    (Luôn đúng)

    Vậy ta có đpcm

    Đẳng thức khi \(a=b=1\)

    Các bài tiếp theo tương tự :v

    g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)

    i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

    Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)

    Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm

    j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm

      bởi hương moon 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON