Chứng minh AN là tiếp tuyến của (O)

bởi can chu 22/01/2019

Cho điểm A ngoài (O). vẽ tiếp tuyến AM ( M \(\in\) (O)). Lấy điểm N \(\in\)(O) sao cho AM = AN

1) Chứng minh AN là tiếp tuyến của (O)

2) Gải sử AM = R. Chứng minh AMON là hình vuông

3) Gải sử AM = R. Gọi I là giao điểm của OA và MN. Tính OA, MN, OI theo R

Câu trả lời (2)

  • Các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

    a) Ta sẽ chứng minh \(\Delta OMA=\Delta ONA\)

    Xét 2 tam giác trên:

    OA chung

    AM= AN

    OM=ON (cùng bằng R)

    => \(\Delta OMA=\Delta ONA\left(c.c.c\right)\) (*) => N^ = M^ = 90o

    => ON là tiếp tuyến của (O)

    b) Ta sẽ chứng minh tứ giác AMON là hình thoi có 1 góc vuông

    (*) => AM= AN ; MO = NO

    => AM = AN = MO = NO (cùng bằng R)

    => AMON là hình thoi

    Mặt khác: M^ = 90o (M là tiếp điểm (O))

    => AMON là hình vuông (**)

    c) (**) => OI = IA và MN = OA

    + \(\Delta OMA\) vuông: \(OA=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}\)

    => \(MN=OA=R\sqrt{2}\)

    + OA = OI + IA (***)

    Từ (**) và (***) => \(OI=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)

    KL: \(MN=OA=R\sqrt{2}\)

    \(OI=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)

    bởi Nguyễn Thị Lan Anh 22/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
  • a) Vì ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AB (C thuộc đường tròn (O))

    => ΔABC vuông tại C

    Vì AD là tiếp tuyến của (O), A là tiếp điểm

    => ΔABD vuông tại A

    mà AC  BD (ΔABC vuông tại C)

    => AB2=BCBD (HTL Δ vuông)

    b) Xét ΔOAM và ΔOCM có:

    OA = OC (A và C cùng thuộc (O))

    O1^=O2^ (OM là phân giác AOC^)

    OM chung

    => ΔOAM = ΔOCM (c.g.c)

    => MAO^=MCO^=90o

    => MC  CO mà C thuộc (O)

    => MC là tiếp tuyến của (O)

    c) Vì CH  AB mà I thuộc CH => CI và IH cũng vuông góc với AB

    Vì ΔOCA cân tại O có OM là phân giác

    => OM  CA (t/c Δ cân)

    mà BC  CA

    => OM // BC (qhệ vuông góc song song)

    Xét ΔABD có:

    O là trung điểm AB

    OM // BC

    => M trung điểm AD (đlí đường TB