YOMEDIA
NONE

Chứng minh a^2/a+b^2 + b^2/b+c^2 + c^2/c+a^2≥3/2

câu 1: Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c=3.chứng minh

\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)

câu 2: cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . chứng minh

\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}\)

câu 3:tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình

xyz+xy+yz+xz+x+y+z=2015 thỏa \(x\ge y\ge z\ge8\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • nguyen thi hoai bich

    Bài 1:

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(a-\dfrac{a^2}{a+b^2}=\dfrac{ab^2}{a+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2b\sqrt{a}}=\dfrac{b\sqrt{a}}{2}\)

    Tương tự cho các BĐT còn lại cũng có:

    \(b-\dfrac{b^2}{b+c^2}\le\dfrac{c\sqrt{b}}{2};c-\dfrac{c^2}{c+a^2}\le\dfrac{a\sqrt{c}}{2}\)

    Sau đó cộng theo vế các BĐT trên

    \(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge3-\dfrac{1}{2}\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)\)

    \(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)

    \(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

    Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

    Bài 2:

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\)

    \(\ge\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\dfrac{3a^2+2b^2+2c^2-a^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

    Tương tự cho các BĐT còn lại ta có:

    \(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2};\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

    Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

    \(VT\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}=VP\)

    Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

      bởi nguyen thi hoai bich 31/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF