YOMEDIA
NONE

Chứng minh (a+1)(b+1)(c+1) ≥ 4abc

Cho a, b, c > 0 TM \(a\le1;b\le2\) và a + b + c = 6. CMR : (a+1)(b+1)(c+1) \(\ge\)4abc

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Trung Kiên Võ

    Lời giải:

    Đặt \(A=(a+1)(b+1)(c+1)\)

    \(6A=(a+1)(b+b+2)(c+c+c+3)\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(6A\geq 2\sqrt{ab}.3\sqrt[3]{2b^2}.4\sqrt[4]{3c^3}\)

    \(\Leftrightarrow 6A\geq 24\sqrt{a}.\sqrt[3]{2b^2}.\sqrt[4]{3c^3}=24\sqrt[12]{a^6.16b^8.27c^9}\)

    \(\Leftrightarrow A\geq 4\sqrt[12]{432a^6b^8c^9}\) (1)

    Lại có:

    \(abc=ab(6-a-b)=\frac{2}{9}.3a.\frac{3}{2}b(6-a-b)\)

    \(\leq \frac{2}{9}.\left(\frac{3a+\frac{3}{2}b+6-a-b}{3}\right)^3\) (BĐT AM-GM ngược dấu)

    \(\Leftrightarrow abc\leq \frac{2}{9}\left(\frac{6+2a+\frac{b}{2}}{3}\right)^3\leq \frac{2}{9}\left(\frac{6+2+1}{3}\right)^3\)

    \(\Leftrightarrow abc\leq 6\) (2)

    Từ (1); (2) suy ra \(A\geq 4\sqrt[12]{2.(abc)^3.a^6b^8c^9}\geq 4\sqrt[12]{a^3b.a^3b^3c^3.a^6b^8c^9}\)

    (do \(a\leq 1, b\leq 2\))

    hay \(A\geq 4\sqrt[12]{(abc)^{12}}=4abc\)

    Do đó ta có đpcm.

    Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(1,2,3)\)

      bởi Trung Kiên Võ 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF