YOMEDIA
NONE

Chứng minh 3 (a^2 + b^2 + c^2 ) ≥ ( a + b + c ) ( căna b + cănb c + cănc a ) + (a − b)^2 + ( b − c ) ^2 + ( c − a )^2 ≥ ( a + b + c )^2

Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm. CMR:

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\) \(\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\) \(+\left(a-b\right)^2\) \(+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Thần Sầu

    Theo BĐT AM-GM ta có:

    \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

    \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

    Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

    \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\left(1\right)\)

    Do 2 BĐT trên cùng có dấu "=" khi \(a=b=c\)

    Dễ dàng theo Cauchy-Schwarz ta có:

    \(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

    \(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\left(2\right)\). Giờ cần c/m

    \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

    Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

    Nên cũng chỉ cần chỉ ra

    \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

    Mà \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (cmt)

    \(\Rightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2\)\(\ge\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

    Dễ thấy \(a+b+c\ne0\) suy ra \(a+b+c\ge\)\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

    BĐT cuối đúng theo AM-GM (cmt) \((3)\)

    Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có ĐPCM

    P/s:bài này liếc phát ra luôn mà quanh đi quẩn lại chỉ mấy BĐT cơ bản :D

      bởi Thần Sầu 31/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF