YOMEDIA
NONE

Cho đường tròn sau \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.

1)  Chứng minh rằng \(\angle ACD = \angle ANM\)

2)  Chứng minh rằng \(AC + AD + AM + AN > 8R\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Thành Tính

    1)  Chứng minh rằng \(\angle ACD = \angle ANM\)

    Ta có \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC \bot AC \Rightarrow BC \bot AM\).

    \( \Rightarrow \angle CMN + \angle MBC = {90^0}\) (tam giác BCM vuông tại C)

    Mà \(\angle ABC + \angle MBC = \angle ABM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)

    \( \Rightarrow \angle ABC = \angle CMN\). (cùng phụ với \(\angle CBM\))

    Mà \(\angle ADC = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

    \( \Rightarrow \angle ADC = \angle CMN\).

    Lại có \(\angle ADC + \angle CDN = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle CMN + \angle CDN = {180^0}\).

    \( \Rightarrow \) Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

    \( \Rightarrow \angle ACD = \angle ANM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

    2)  Chứng minh rằng \(AC + AD + AM + AN > 8R\)

    Ta có \(\angle ACB = \angle ADB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM ta có: \(A{B^2} = AC.AM\)

    \(\Rightarrow AM = \dfrac{{A{B^2}}}{{AC}} = \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}\)

     Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: \(A{B^2} = AD.AN \)

    \(\Rightarrow AN = \dfrac{{A{B^2}}}{{AD}} = \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\)

    \(\begin{array}{l} \Rightarrow AC + AD + AM + AN = AC + AD + \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}} + \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\\ = \left( {AC + \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}} \right) + \left( {AD + \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}} \right)\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {AC.\dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}}  + 2\sqrt {AD.\dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}}  = 2.2R + 2.2R = 8R\end{array}\)

    Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}\\AD = \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = 2R\\AD = 2R\end{array} \right.\) , khi đó \(C \equiv D \equiv M \equiv N \equiv B\)

      bởi Thành Tính 12/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON