YOMEDIA
NONE

Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({2020^{2\left( {{x^2} - y + 1} \right)}} = \frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}}\). Giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = 2y - x\) bằng đáp án?

A. \({P_{\min }} = \frac{1}{2}\)

B. \({P_{\min }} = \frac{7}{8}\).

C. \({P_{\min }} = \frac{1}{4}\).

D. \({P_{\min }} = \frac{{15}}{8}\).

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Bao Nhi

    Đặt \({2020^{2\left( {{x^2} - y + 1} \right)}} = \frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}} = t\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}\frac{{2x + y}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = t\\ \Leftrightarrow 2x + y = t{\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2x + y = t{x^2} + 2tx + t\\ \Leftrightarrow y = t{x^2} + 2\left( {t - 1} \right)x + t\end{array}\)

    Khi đó:

    \(\begin{array}{l}{2020^{2\left( {{x^2} - y + 1} \right)}} = t\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - y + 1} \right) = {\log _{2020}}t\\ \Leftrightarrow {x^2} - y + 1 = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - t{x^2} - 2\left( {t - 1} \right)x - t + 1 = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 - t} \right)x + \left( {1 - t} \right) = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - t} \right)\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - t} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) 

    +) Với \(1 - t > 0 \Leftrightarrow t < 1\) thì \(VT > 0\) và \(VP = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2} < 0\) nên (*) không thỏa mãn.

    +) Với \(1 - t < 0 \Leftrightarrow t > 1\) thì \(VT < 0\) và \(VP = \frac{{{{\log }_{2020}}t}}{2} > 0\) nên (*) không thỏa mãn.

    +) Với t=1 thì VT=VP=0.

    Do đó \(t = 1\).

    \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{2x + y}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow 2x + y = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2x + y = {x^2} + 2x + 1\\ \Leftrightarrow y = {x^2} + 1\end{array}\)

    Khi đó

    \(P = 2y - x = 2\left( {{x^2} + 1} \right) - x\)

    \(\begin{array}{l} = 2{x^2} - x + 2\\ = 2\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}} \right) + \frac{{15}}{8}\\ = 2{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{8}\\ \ge 2.0 + \frac{{15}}{8} = \frac{{15}}{8}\\ \Rightarrow P \ge \frac{{15}}{8}\end{array}\)

    Dấu “=” xảy ra khi \(x = \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + 1 = \frac{{17}}{{16}}\)

    Vậy \({P_{\min }} = \frac{{15}}{8}\).

    Đáp án D

      bởi Bao Nhi 10/06/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON