YOMEDIA
NONE

Tính thể tích khối hình chóp S.ABMN, biết M là trung điểm cạnh SC

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ. Biết A(2;0;0); B(0;1;0); S(0;0;\(2\sqrt{2}\)).Gọi M là trung điểm cạnh SC

a. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA; BM

b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối hình chóp S.ABMN

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • z C B O A D y S x M N

    a. Do ABCD là hình thoi có tâm là O nên từ giả thiết ta có :

    \(C=\left(-2;0;0\right)\)

    \(D=\left(0;-1;0\right)\)

    Từ đó M là trung điểm của SC nên :

    \(M\left(-1;0=-\sqrt{2}\right)\)

    Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

             \(\overrightarrow{BM}=\left(-1;-1;\sqrt{2}\right)\)

    Gọi \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SA, MB, ta có :

    \(\cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{SA.}\overrightarrow{BM}\right|}{\left|\overrightarrow{SA}\right|.\left|\overrightarrow{MB}\right|}=\frac{\left|-2-4\right|}{\sqrt{4+8}.\sqrt{1+2+1}}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

    Vậy \(\alpha=60^0\)

    Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau SA, BM ta sử dụng công thức :

    \(d\left(SA;BM\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|}\)  (1)

    Theo công thức  xác định tọa độ vecto \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\) ta có :

    \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\-1&-1\end{matrix}\right|\right)\)

                      \(=\left(-2\sqrt{2};1;0\right)\)

    \(\Rightarrow\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|=\sqrt{12}\)

    \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;0\right)\)

    \(\Rightarrow\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}=4\sqrt{2}\)

    Thay vào (1) ta có :

    \(d\left(SA;BM\right)=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

    b. Vì AB \\ mặt phẳng (SDC) nên MN \\ DC. Suy ra N là trung điểm của SD

    \(\Rightarrow N=\left(0;-\frac{1}{2};\sqrt{2}\right)\)

    Dễ thấy :

    \(V_{S.ABMN}=V_{S.ABN}+V_{S.BMN}\)

                  \(=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{SN}\right|+\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right].\overrightarrow{SN}\right|\)    (2)

    Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

             \(\overrightarrow{SN}=\left(0;-\frac{1}{2};-\sqrt{2}\right)\)

             \(\overrightarrow{SB}=\left(0;1;-2\sqrt{2}\right)\)

             \(\overrightarrow{SM}=\left(-1;0;-\sqrt{2}\right)\)

    Ta lại có :

    \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&-2\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\-2\sqrt{2}&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\0&1\end{matrix}\right|\right)\)

                     \(=\left(2\sqrt{2};4\sqrt{2};2\right)\)

    \(\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-2\sqrt{2}\\0&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&0\\-\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right|\right)\)

                     \(=\left(-\sqrt{2};2\sqrt{2};1\right)\)

    Thay vào (2) được :

    \(V_{S.ABMN}=\frac{1}{6}\left(\left|-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right|+\left|-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right|\right)=\sqrt{2}\)

      bởi phan thị đoan phụng 10/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF