YOMEDIA

Tính thể tích khối hình chóp S.ABMN, biết M là trung điểm cạnh SC

bởi Nguyễn Thị Thanh 10/10/2018

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ. Biết A(2;0;0); B(0;1;0); S(0;0;\(2\sqrt{2}\)).Gọi M là trung điểm cạnh SC

a. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA; BM

b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối hình chóp S.ABMN

RANDOM

Câu trả lời (1)

  • z C B O A D y S x M N

    a. Do ABCD là hình thoi có tâm là O nên từ giả thiết ta có :

    \(C=\left(-2;0;0\right)\)

    \(D=\left(0;-1;0\right)\)

    Từ đó M là trung điểm của SC nên :

    \(M\left(-1;0=-\sqrt{2}\right)\)

    Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

             \(\overrightarrow{BM}=\left(-1;-1;\sqrt{2}\right)\)

    Gọi \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SA, MB, ta có :

    \(\cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{SA.}\overrightarrow{BM}\right|}{\left|\overrightarrow{SA}\right|.\left|\overrightarrow{MB}\right|}=\frac{\left|-2-4\right|}{\sqrt{4+8}.\sqrt{1+2+1}}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

    Vậy \(\alpha=60^0\)

    Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau SA, BM ta sử dụng công thức :

    \(d\left(SA;BM\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|}\)  (1)

    Theo công thức  xác định tọa độ vecto \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\) ta có :

    \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\-1&-1\end{matrix}\right|\right)\)

                      \(=\left(-2\sqrt{2};1;0\right)\)

    \(\Rightarrow\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|=\sqrt{12}\)

    \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;0\right)\)

    \(\Rightarrow\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}=4\sqrt{2}\)

    Thay vào (1) ta có :

    \(d\left(SA;BM\right)=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

    b. Vì AB \\ mặt phẳng (SDC) nên MN \\ DC. Suy ra N là trung điểm của SD

    \(\Rightarrow N=\left(0;-\frac{1}{2};\sqrt{2}\right)\)

    Dễ thấy :

    \(V_{S.ABMN}=V_{S.ABN}+V_{S.BMN}\)

                  \(=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{SN}\right|+\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right].\overrightarrow{SN}\right|\)    (2)

    Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

             \(\overrightarrow{SN}=\left(0;-\frac{1}{2};-\sqrt{2}\right)\)

             \(\overrightarrow{SB}=\left(0;1;-2\sqrt{2}\right)\)

             \(\overrightarrow{SM}=\left(-1;0;-\sqrt{2}\right)\)

    Ta lại có :

    \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&-2\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\-2\sqrt{2}&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\0&1\end{matrix}\right|\right)\)

                     \(=\left(2\sqrt{2};4\sqrt{2};2\right)\)

    \(\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-2\sqrt{2}\\0&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&0\\-\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right|\right)\)

                     \(=\left(-\sqrt{2};2\sqrt{2};1\right)\)

    Thay vào (2) được :

    \(V_{S.ABMN}=\frac{1}{6}\left(\left|-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right|+\left|-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right|\right)=\sqrt{2}\)

    bởi phan thị đoan phụng 10/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA