YOMEDIA
NONE

Tính thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD

cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a tính thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh cảu tứ diện ABCD?

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • {HÌNH BẠN TỰ VẼ NHÉ}

    Gọi tâm của tứ diện đều là O.

    Trọng tâm tam giác ABC là G.

    Trung điểm của BC là M.

    Ta có: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3};\,\,DG = \sqrt {A{D^2} - A{G^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

    \(OG = \frac{{DG}}{4} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}a \Rightarrow OA = OB = OC = \sqrt {O{G^2} + A{G^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{4}a\) (1)

    \(OD = \frac{3}{4}DG = \frac{{\sqrt 6 }}{4}a\) (2)

    Suy ra: các tam giác cân OAB, OBC, OCD, ODA, OAC, OBD đều bằng nhau.

    Suy ra: Khoảng cách từ O đến 6 cạnh của tứ diện đều bằng nhau và bằng OM.

    Suy ra: O cũng là tâm khối cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện và bán kính khối cầu này là R=OM.

    \(\begin{array}{l}{S_{OBC}} = \frac{{\sqrt {(OB + OC + BC)(OB + OC - BC)(BC + OB - OC)(BC + OC - OB)} }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{8}\\ \Rightarrow R = OM = \frac{{2{S_{OBC}}}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\end{array}\)

    Thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{24}}\pi {a^3}.\)

      bởi Anh Trần 20/07/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF