YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(\small P=\frac{\sqrt{a^3c}}{2\sqrt{b^3a+3bc}}+\frac{\sqrt{b^3a}}{2\sqrt{c^3b+3ca}}+\frac{\sqrt{c^3b}}{2\sqrt{a^3c+3ab}}\)

Cho ba số thực dương a; b; c tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(\small P=\frac{\sqrt{a^3c}}{2\sqrt{b^3a+3bc}}+\frac{\sqrt{b^3a}}{2\sqrt{c^3b+3ca}}+\frac{\sqrt{c^3b}}{2\sqrt{a^3c+3ab}}\)

 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (3)

  • \(P=\frac{\sqrt{a^3c}}{2\sqrt{b^3a}+3bc}=\frac{a\sqrt{ac}}{b(\sqrt{ba}+3c)}=\frac{\left ( \sqrt{\frac{a}{b}} \right )^2}{\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}}\)

    Ta có \(\frac{\sqrt{b^3a}}{2\sqrt{c^3b}+3ca}=\frac{a\sqrt{ac}}{b(2\sqrt{ba}+3c)}=\frac{\left ( \sqrt{\frac{a}{b}} \right )^2}{\sqrt[2]{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}\)

    Tương tự \(\frac{\sqrt{b^3a}}{2\sqrt{c^3b}+3ca}=\frac{\left ( \sqrt{\frac{b}{c}} \right )^2}{\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}};\frac{\sqrt{c^3b}}{\sqrt{a^3c}+3ab}=\frac{\left ( \sqrt{\frac{c}{a}} \right )^2}{\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}}\)
    Do đó đặt \(x=\sqrt{\frac{a}{b}};y=\sqrt{\frac{b}{c}};z=\sqrt{\frac{c}{a}};(x;y;z> 0)\) khi đó xyz = 1
    Khi đó \(P=\frac{x^2}{2y+3z}+\frac{y^2}{2z+3x}+\frac{z^2}{2x+3y}\)
    Ta có  \(\frac{x^2}{2y+3z}+\frac{2y+3z}{25}+\frac{y^2}{2z+3x}+\frac{2z+3x}{25}+\frac{z^2}{2x+3y}+\frac{2x+3y}{25}\geq \frac{2}{5}(x+y+z)\)

    Nên \(P=\frac{x^2}{2y+3z}+\frac{y^2}{2z+3x}+\frac{z^2}{2x+3y}\geq \frac{1}{5}(x+y+z)\geq \frac{3}{5}\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{5}\)
    Vậy \(P_{min}=\frac{3}{5}\) khi và chỉ khi  x = y =z =1 hay a = b =c.

      bởi Lê Minh Bảo Bảo 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF