YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
\(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
    \(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a^2}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)^2}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}\). Tương tự, ta có
    \(\frac{b^2}{(c+a)^2}+5ca\geq \frac{4b^2}{9(c+a)^2}\)
    Suy ra \(\frac{b^2}{(c+a)^2}+5ca\geq \frac{4b^2}{9(c+a)^2}\geq \frac{4}{9}\left ( \frac{\frac{(a+b)^2}{2}+c(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c^2} \right )^2\)

    \(=\frac{9}{2}\left ( \frac{2(a+b)^3+4c(a+b)}{(a+b)^2+4c(a+b)+4c^2} \right )^2\)
    Vì a + b+ c=1 ⇔ a + b = 1- c nên
    \(P\geq \frac{2}{9} \left (\frac{2(1-c)^2+4c(1-c)^2}{(1-c)^2+4c(1-c)+4c^2} \right )-\frac{3}{4}(1-c)^2=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
    Xét hàm số  \(f(c)=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2\) với \(c\in (0;1)\)
    Ta có \(f'(c)=0\Leftrightarrow \frac{16}{9}(1-\frac{2}{c+1}).\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(c-1)\)
    \(f'(c)=0\Leftrightarrow (c-1)(64-(3c+3)^3)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}\)
    Bảng biến thiên 

    Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f(c)\geq -\frac{1}{9}\) với mọi \(c\in (0;1)\) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra \(P\geq -\frac{1}{9}\), dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

      bởi Bin Nguyễn 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF