ADMICRO

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=(x^2-xy+y^2)(y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2)\)

Help me!

Các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=(x^2-xy+y^2)(y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Không mất tính tổng quát, giả sử \(0\leq z\leq y\leq x\leq 3\)
    Khi đó có \(\left\{\begin{matrix} z(z-x)\leq 0\\ z(z-y)\leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z^2-zx\leq 0\\ z^2-yz\leq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z^2-zx+x^2\leq x^2\\ z^2-yz+y^2\leq y^2 \end{matrix}\right.\)
    Từ đó \(P\leq x^2y^2(x^2-xy+y^2)=x^2y^2\left [ (x+y)^2-3xy \right ]=x^2y^2(x+y)^2-3x^3y^3\)
    \(\leq (xy)^2(x+y+z)^2-3(xy)^3=9(xy)^2-3(xy)^3\)
    Ta có \(2\sqrt{xy}\leq x+y\leq x+y+z=3\Leftrightarrow xy\leq \frac{9}{4}\)
    Đặt \(t=xy\Rightarrow 0\leq t\leq\frac{9}{4}\)
    Xét hàm số \(f(t)=9t^2-3t^3\)với \(t\in \left [ 0;\frac{9}{4} \right ]\). Ta có \(f'(t)=18t-9t^2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=0\\ t=2 \end{matrix}\)
    Tính được \(f(0)=0;f(2)=12;f(\frac{9}{4})=\frac{729}{64}\) suy ra \(\underset{[0;\frac{9}{4}]}{max}f(t)=12\)
    Ta có \(P\leq f(t)\leq 12\)
    Từ đó giá trị lớn nhất của P bằng 12. Đạt được chẳng hạn (x;y;z) = (0;1;2) 

      bởi Nguyễn Anh Hưng 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)