YOMEDIA
NONE

CM x^y.y^x=y^z.z^y=z^x.x^z biết x(y+z-x)/log x=y(y+x-y)/log y=z(y+x-z)/log z

Cho x, y, z, a là các số thực dương thỏa mãn dãy đẳng thức sau :

\(\frac{x\left(y+z-x\right)}{\log x}=\frac{y\left(z+x-y\right)}{\log y}=\frac{z\left(y+x-z\right)}{\log z}\)

Chứng minh rằng \(x^y.y^x=y^z.z^y=z^x.x^z\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (2)

  • Nếu một trong các số \(x+y-z;y+z-x;z+x-y\) bằng 0 thì cả 3 số đều bằng 0 và dẫn đến \(x=y=z=0\), mâu thuẫn

    Từ giả thiết ta có : \(\begin{cases}x\log y\left(y+z-x\right)=y\log x\left(z+x-y\right)\\y\log z\left(z+x-y\right)=z\log y\left(x+y-z\right)\\z\log x\left(x+y-z\right)=x\log z\left(y+z-x\right)\end{cases}\)

    Xét đẳng thức thứ nhất ta có :

                                                   \(x\log y\left(y+z-x\right)=y\log x\left(z+x-y\right)\Leftrightarrow x\log y=y\log x.\frac{z+x-y}{y+z-x}\)                                                               \(\Leftrightarrow x\log y+y\log x=y\log x\left(\frac{z+x-y}{y+z-x}+1\right)\Leftrightarrow x\log y+z\log x=y\log x\frac{2z}{y+z-x}\)

    Biến đổi tương tự với đẳng thức thứ hai ta có :

                                                 \(y\log z+z\log y=z\log y\frac{2z}{z+z-y}\)

    Ta thấy rằng : \(x^y.y^x=y^z.z^y\Leftrightarrow x\log y+y\log x=y\log z+z\log y\)

    Do đó ta cần có :

                        \(y\log x\frac{2z}{y+z-x}=z\log y\frac{2z}{z+x-y}\Leftrightarrow y\log x\left(z+x-y\right)=x\log y\left(y+z-x\right)\), đúng

    Do đó ta được : \(x^yy^x=y^z.z^y\)

    Chứng minh tương tự ta có : \(y^zz^y=z^x.x^z\)

    => Điều phải chứng minh

     

      bởi Dương Bạch 27/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF