YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x\) và \(g\left( x \right) = {{3x} \over {x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x\) và \(g\left( x \right) = {{3x} \over {x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó. 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Mai Rừng

    Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:

    \(\left\{ \begin{array}{l}
    f\left( x \right) = g\left( x \right)\\
    f'\left( x \right) = g'\left( x \right)
    \end{array} \right.\)

    \(\eqalign{
    \Leftrightarrow  & \left\{ \matrix{
    {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} \hfill \cr 
    {\left( {{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x} \right)'} = {\left( {{{3x} \over {x + 2}}} \right)'} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}}\,(1) \hfill \cr 
    x + {3 \over 2} = {6 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\,(2) \hfill \cr} \right. \cr } \)

    \(\begin{array}{l}
    \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} = \frac{{3x}}{{x + 2}}\\
    \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} - \frac{{3x}}{{x + 2}} = 0\\
    \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + 2} \right) - 6x}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = 0\\
    \Rightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + 2} \right) - 6x = 0\\
    \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 2{x^2} + 6x - 6x = 0\\
    \Leftrightarrow {x^3} + 5{x^2} = 0\\
    \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 5} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^2} = 0\\
    x + 5 = 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0\\
    x = - 5
    \end{array} \right.\left( {TM} \right)
    \end{array}\)

    Thay x=0 và x=-5 vào (2) ta được:

    +) \(x=0\) thì \(VT=0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}}=VP\) nên x=0 thỏa mãn (2)

    Do đó x=0 là nghiệm của hệ.
    +) \(x =-5\) thì \(VT =  - 5 + \frac{3}{2} =  - \frac{7}{2} \ne \frac{6}{{{{\left( { - 5 + 2} \right)}^2}}} = VP\) nên x=-5 không thỏa mãn (2)

    Vậy hệ có \(1\) nghiệm duy nhất \(x = 0\) suy ra y=0.

    Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ \(O\); \(y'\left( 0 \right) = {3 \over 2}\).

    Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là \(y = {3 \over 2}x.\) 

      bởi Mai Rừng 02/06/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF