Cho biết khối chóp \(S.ABCD\) có thể tích bằng \(2{a^3}\), đáy \(ABCD\) là hình thang với đáy lớn là \(AB\) và \(AB = 3CD\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SA\), \(N\) là điểm thuộc cạnh \(CB\) sao cho \(BN = 3NC\). Mặt phẳng \(\left( {DMN} \right)\) cắt cạnh \(SB\) tại \(I\). Tính thể tích khối chóp \(A.MDNI\).

A. \(\frac{{3{a^3}}}{8}\). B. \(\frac{{5{a^3}}}{8}\).

C. \(\frac{{10{a^3}}}{{12}}\). D. \(\frac{{3{a^3}}}{4}\).

Theo dõi Vi phạm

Trả lời (1)

Trong (ABCD), gọi E là giao điểm của DN và AB.

Trong (SAB), gọi I là giao điểm của ME và AB.

Khi đó I chính là giao điểm của SB với (DMN).

\(CD//AE \Rightarrow CD//BE\) \( \Rightarrow \frac{{CD}}{{BE}} = \frac{{CN}}{{BN}} = \frac{1}{3}\)

Mà \(\frac{{CD}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BE}} = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow BE = AB\) hay B là trung điểm của AE.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAB với bộ ba điểm thẳng hàng là M, I, E ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{MS}}{{MA}}.\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{IB}}{{IS}} = 1\\ \Rightarrow 1.2.\frac{{IB}}{{IS}} = 1 \Rightarrow \frac{{IB}}{{IS}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{2}{3}\end{array}\)

Gọi \(h\) là chiều cao của hình thang ABCD ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).h\\ = \frac{1}{2}\left( {3CD + CD} \right).h\\ = \frac{1}{2}.4CD.h\\ = 2CD.h\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{ABN}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {N,AB} \right)\\ = \frac{1}{2}.3CD.\frac{3}{4}h = \frac{9}{8}CD.h\\{S_{CDN}} = \frac{1}{2}CD.d\left( {N,CD} \right)\\ = \frac{1}{2}CD.\frac{1}{4}h = \frac{1}{8}CD.h\\ \Rightarrow {S_{ADN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABN}} - {S_{CDN}}\\ = 2CD.h - \frac{9}{8}CD.h - \frac{1}{8}CD.h\\ = \frac{3}{4}CD.h\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ADN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{3}{4}CD.h}}{{2CD.h}} = \frac{3}{8}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{V_{M.ADN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{ADN}}.d\left( {M,\left( {ADN} \right)} \right)}}{{\frac{1}{3}{S_{ABCD}}.d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}}\\ = \frac{{{S_{ADN}}}}{{{S_{ABCD}}}}.\frac{{d\left( {M,\left( {ADN} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{3}{{16}}\\ \Rightarrow {V_{M.ADN}} = \frac{3}{{16}}{V_{S.ABCD}} = \frac{3}{{16}}.2{a^3} = \frac{3}{8}{a^3}\end{array}\)

Lại có

\(\begin{array}{l}{S_{ABN}} = \frac{9}{8}CD.h\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ABN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{9}{8}CD.h}}{{2CD.h}} = \frac{9}{{16}}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{S.ABN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{ABN}}.d\left( {S,\left( {ABN} \right)} \right)}}{{\frac{1}{3}{S_{ABCD}}.d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}}\\ = \frac{{{S_{ABN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{9}{{16}}\\ \Rightarrow {V_{S.ABN}} = \frac{9}{{16}}{V_{S.ABCD}} = \frac{9}{{16}}.2{a^3} = \frac{9}{8}{a^3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{M.ANI}}}}{{{V_{S.ANI}}}} = \frac{{MA}}{{SA}} = \frac{1}{2}\\\frac{{{V_{S.ANI}}}}{{{V_{S.ABN}}}} = \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{M.ANI}}}}{{{V_{S.ANI}}}}.\frac{{{V_{S.ANI}}}}{{{V_{S.ABN}}}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{M.ANI}}}}{{{V_{S.ABN}}}} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow {V_{M.ANI}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABN}} = \frac{1}{3}.\frac{9}{8}{a^3} = \frac{3}{8}{a^3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{ADMIN}} = {V_{M.ADN}} + {V_{M.ANI}}\\ = \frac{3}{8}{a^3} + \frac{3}{8}{a^3} = \frac{3}{4}{a^3}\end{array}\)

Đáp án D.

bởi Nguyen Ngoc 10/06/2021

Like (0) Báo cáo sai phạm