ADMICRO

Cho a, b, c là các số thực không âm và thỏa mãn: ab + bc + ca = 1

Cho a, b, c là các số thực không âm và thỏa mãn: ab + bc + ca = 1. Tìm GTNN của biểu thức:

\(P=\sqrt{\frac{a}{16(b+c)(a^{2}+bc)}}+\sqrt{\frac{b}{16(a+c)(b^{2}+ac)}}+\frac{a^{2}+1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{c}{ab} \right )\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Ta có:

    \(\frac{a^{2}+bc}{ab+ac}+1\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}+bc}{ab+ac}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}\geq \frac{2a(b+c)}{(a+b)(a+c)}\)

    \(\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{(b+c)(a^{2}+bc)}}\geq \frac{2a}{(a+b)(a+c)}\; \; \; (1)\)

    Tương tự ta cũng sẽ có: \(\sqrt{\frac{b}{(a+c)(b^{2}+ac)}}\geq \frac{2b}{(c+b)(a+b)}\; \; \; (2)\)

    Từ (1) và (2) ta sẽ có:

    \(P\geq \frac{1}{4}\left [ \frac{2a}{(a+b)(a+c)}+\frac{2b}{(c+b)(a+b)} \right ]+\frac{a^{2}+1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{c}{ab} \right )\)

    \(=\frac{1}{4}.\frac{4ab+2ac+2bc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a^{2}+1)(b+c)}{4ab}\)

    Mặt khác ta có a, b, c là các số không âm và ab + bc + ca = 1. Nên ta sẽ có:

    \(\frac{(a^{2}+1)(b+c)}{4ab}=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4ab}\geq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4ab+2c(a+b)}\)

    Từ đây ta sẽ có: \(P\geq \frac{1}{4}.\frac{4ab+2ac+2bc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4ab+2c(a+b)}\overset{AM-GM}{\geq} 1\)

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{a^{2}+bc}{ab+ac}=1\\ \frac{b^{2}+ac}{ab+bc}=1 \\ ab+bc+ca=1 \\ c=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=1\\ c=0 \end{matrix}\right..\)

      bởi Van Tho 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)