Xác định kích thước (dài rộng) của hầm biogas để tiết kiệm nhiên liệu nhất biết thể tích 12 m3 và chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng

Gọi chiều rộng và chiều sâu của bể lần lượt là 2t và 3t.

Suy ra chiều dài của bể là: \(\frac{{12}}{{2t.3t}} = \frac{2}{{{t^2}}}\) 

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phân của bể phải nhỏ nhất.

\({S_{tp}} = 2\left( {2t.3t + 2t.\frac{2}{{{t^2}}} + 3t.\frac{2}{{{t^2}}}} \right) = 2\left( {6{t^2} + \frac{{10}}{t}} \right)\)

Xét hàm số  \(f(t) = 6{t^2} + \frac{{10}}{t},t > 0\)

\(\begin{array}{l} f'(t) = 12t - \frac{{10}}{{{t^2}}}\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow 12t - \frac{{10}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{12{t^3} - 10}}{{{t^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 12{t^3} - 10 = 0\,\,(do\,t > 0)\\ \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}} \end{array}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}\).

Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là: \(2t \approx 1,88(m);\,\frac{2}{{{t^2}}} \approx 2,26(m)\).