Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất, với A, B, I cho trước

Ta có:

\(\begin{array}{l} IA = \sqrt {{3^2} + {2^2} + {4^2}} = \sqrt {29} \\ IB = \sqrt {{0^2} + {5^2} + {2^2}} = \sqrt {29} \end{array}\)

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Vì IA=IB nên \(IM \bot AB\).

Ta có:  \(M = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};5} \right);IM = \frac{{\sqrt {94} }}{2}\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

Nếu H, M là hai điểm phân biệt thì tam giác IHM vuông tại H, IH<IM hay  \(IH < \frac{{\sqrt {94} }}{2}\)

Nếu H trùng với M thì \(IH = IM = \frac{{\sqrt {94} }}{2}\).

Vậy \(IH \le \frac{{\sqrt {94} }}{2}\), IH lớn nhất khi \(H \equiv M\).

Khi đó: (P) có vectơ pháp tuyến là  \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {IH} = \overrightarrow {IM} = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2};3} \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(\frac{3}{2}(x - 2) + \frac{7}{2}(y + 1) + 3(z - 6) = 0\)

Hay:  \(3x + 7y + 6z - 35 = 0\)