Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {3; - 1; - 5} \right)\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\) và cắt đường thẳng \(\Delta \) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến đường thẳng \(d\) là lớn nhất. Khi đó, gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là giao điểm của \(d\) với đường thẳng \(\Delta \). Giá trị \(P = a + b + c\) bằng

Gọi \(M = d \cap \Delta \) thì \(M\left( { - 1 + 2t;3t; - 1 - t} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 2 + 2t,3t - 2, - t} \right)\), \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - 2;3;4} \right)\), \(\overrightarrow {BM}  = \left( { - 4 + 2t;3t + 1;4 - t} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BA} } \right] = \left( {15t - 8; - 6t + 8;12t - 10} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|}}\)  \( = \frac{{\sqrt {{{\left( {15t - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 6t + 8} \right)}^2} + {{\left( {12t - 10} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {2t - 2} \right)}^2} + {{\left( {3t - 2} \right)}^2} + {t^2}} }}\) \( = \sqrt {\frac{{{{\left( {15t - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 6t + 8} \right)}^2} + {{\left( {12t - 10} \right)}^2}}}{{{{\left( {2t - 2} \right)}^2} + {{\left( {3t - 2} \right)}^2} + {t^2}}}} \) \( = \sqrt {\frac{{405{t^2} - 576t + 228}}{{14{t^2} - 20t + 8}}} \)

Xét \(f\left( t \right) = \frac{{405{t^2} - 576t + 228}}{{14{t^2} - 20t + 8}}\). Sử dụng MTCT (chức năng TABLE với bước START nhập \( - 5\), bước END nhập \(5\) và bước STEP nhập \(1\) ta sẽ được kết quả GTLN \(f\left( t \right) = 29\) tại \(t = 2\).

Do đó \(M\left( {3;6; - 3} \right)\) hay \(a = 3;b = 6;c =  - 3 \Rightarrow a + b + c = 6\).

Chọn D.