Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 3} \right);\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 1;3} \right);\)

\(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right)\)

 \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {3;3;3} \right) \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) là VTPT của mặt phẳng (ABC).

Mặt khác (ABC) đi qua A nên có pt:  

\(\left( {ABC} \right):x + y + z - 1 = 0.\)

\(\overrightarrow {AH} = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right);\)

\(\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 1;z + 2} \right);\)

\(\overrightarrow {CH} = \left( {x;y;z - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0}\\
{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0}
\end{array}}\\
{H \in \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2x - y + 3z = 2}\\
{ - x + y =  - 1}
\end{array}}\\
{x + y + z - 1 = 0}
\end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{9};\frac{{ - 4}}{9};\frac{8}{9}} \right).
\end{array}\)

\( \Rightarrow Q = \frac{5}{9} + \left( { - \frac{4}{9}} \right) + \frac{8}{9} = 1\)