Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 4 = 0\) và các điểm \(A\left( {2;1;2} \right),B\left( {3; - 2;2}

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P) \( \Rightarrow AMH = BMK\) 

Ta có: \(AH = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4 + 2 - 2 + 4} \right|}}{3} = \frac{8}{3};BK = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {6 - 4 - 2 + 4} \right|}}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow AH = 2.BK\) 

\( \Rightarrow HM = 2.MK\) (do \(\Delta AHM\) đồng dạng với \(\Delta BKM\) (g.g))

Lấy I đối xứng H qua K; E thuộc đoạn HK sao cho HE = 2KE; F thuộc đoạn KI sao cho FI = 2KF.

Khi đó: A, B, I, H, E, K, F đều là các điểm cố định.

* Ta chứng minh: M di chuyển trên đường tròn tâm F, đường kính IE:

Gọi N là điểm đối xứng của M qua K \( \Rightarrow \Delta HMN\) cân tại M

E nằm trên trung tuyến HK và \(HE = \frac{2}{3}HK \Rightarrow \) E là trọng tâm \(\Delta HMN\) 

\( \Rightarrow ME \bot HN\) 

Mà \(HN//MI \Rightarrow ME \bot MI\) 

Dễ dàng chứng minh F là trung điểm của EI

Suy ra M di chuyển trên đường tròn tâm F đường kính EI (thuộc mặt phẳng (P))

* Tìm tọa độ điểm F:

Phương trình đường cao AH là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y = 1 + 2t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) 

Gia sử \(H\left( {2 + 2{t_1};1 + 2{t_1};2 - {t_1}} \right).\,\,\,H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {2 + 2{t_1}} \right) + 2\left( {1 + 2{t_1}} \right) - \left( {2 - {t_1}} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {t_1} = \frac{8}{9}\) 

\( \Rightarrow H\left( {\frac{2}{9}; - \frac{7}{9};\frac{{26}}{9}} \right)\) 

Phương trình đường cao BK là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + 2t\\
y =  - 2 + 2t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) 

Giả sử \(K\left( {3 + 2{t_2}; - 2 + 2{t_2};2 - {t_2}} \right)\) 

\(K \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {3 + 2{t_2}} \right) + 2\left( { - 2 + 2{t_2}} \right) - \left( {2 - {t_2}} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {t_2} =  - \frac{4}{9} \Rightarrow K\left( {\frac{{19}}{9};\frac{{ - 26}}{9};\frac{{22}}{9}} \right)\) 

Ta có: \(\overrightarrow {HF}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {HK}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_F} - \frac{2}{9} = \frac{4}{3}.\frac{{17}}{9}\\
{y_F} + \frac{7}{9} = \frac{4}{3}.\frac{{ - 19}}{9}\\
{z_F} - \frac{{26}}{9} = \frac{4}{3}.\frac{{ - 4}}{9}
\end{array} \right. \Rightarrow F\left( {\frac{{74}}{{27}};\frac{{ - 97}}{{27}};\frac{{62}}{{27}}} \right)\)