Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( { - 1;2;0} \right),C\left( {3; - 1; - 2} \right)\).

Giả sử \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thỏa mãn:

\(2\overrightarrow {IA}  - 7\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {1 - {x_0}} \right) - 7\left( { - 1 - {x_0}} \right) + 4\left( {3 - {x_0}} \right) = 0\\
2\left( {1 - {y_0}} \right) - 7\left( {2 - {y_0}} \right) + 4\left( { - 1 - {y_0}} \right) = 0\\
2\left( { - 1 - {z_0}} \right) - 7\left( { - {z_0}} \right) + 4\left( { - 2 - {z_0}} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} =  - 21\\
{y_0} = 16\\
{z_0} = 10
\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow I\left( { - 21;16;10} \right) \in \left( S \right),\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,{{\left( { - 21 - 1} \right)}^2} + {{16}^2} + {{\left( {10 + 1} \right)}^2} = 861} \right)\) 

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} - 7{\overrightarrow {MB} ^2} + 4{\overrightarrow {MC} ^2}\\
 = 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 7{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 4{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\
 =  - M{I^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {2\overrightarrow {IA}  - 7\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC} } \right) + 2I{A^2} - 7I{B^2} + 4I{C^2}\\
 =  - M{I^2} + 2I{A^2} - 7I{B^2} + 4I{C^2}
\end{array}\) 

Để \(P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2}\) đạt GTNN thì MI có độ dài lớn nhất

\( \Leftrightarrow MI\) là đường kính \( \Leftrightarrow \) M là ddierm đối xứng của \(I\left( { - 21;16;10} \right)\) qua tâm \(T\left( {1;0; - 1} \right)\) của (S)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} - 21 = 2\\
{y_M} + 16 = 0\\
{z_M} + 10 =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {23; - 16; - 12} \right) \Rightarrow T = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| = 23 + 16 + 12 = 51\)