Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}; {{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+3z-5=0\). Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\), cắt \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) có phương trình là

Phương trình \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - {t_1}\\ y = 3 - 2{t_1}\\ z = - 2 + {t_1} \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 5 - 3{t_2}\\ y = - 1 + 2{t_2}\\ z = 2 + {t_2} \end{array} \right.\).

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta\).

Giả sử đường thẳng \(\Delta \) cắt đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) lần lượt tại A, B.

Gọi \(A\left( 3-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}} \right), B\left( 5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}} \right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left( 2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}};-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}};4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)\)

Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\vec{n}=\left( 1;2;3 \right)\)

Do \(\overrightarrow{AB}\) và \(\vec{n}\) cùng phương nên \(\frac{2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}}}{1}=\frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2}=\frac{4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{3}\).

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 3{t_2} + {t_1}}}{1} = \frac{{ - 4 + 2{t_2} + 2{t_1}}}{2}\\ \frac{{ - 4 + 2{t_2} + 2{t_1}}}{2} = \frac{{4 + {t_2} - {t_1}}}{3} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {t_1} = 2\\ {t_2} = 1 \end{array} \right.\)

Do đó \(A\left( 1;-1;0 \right), B\left( 2;1;3 \right)\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( 1;-1;0 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{n}=\left( 1;2;3 \right)\) là

\(\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}\).