Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(0

${{3}^{x}}+3x-6=9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}\Rightarrow {{3}^{x}}+3\left( x-1 \right)=9y+3{{\log }_{3}}y+3$

$\Rightarrow {{3}^{x}}+3\left( x-1 \right)=9y+3{{\log }_{3}}\left( 3y \right)\Rightarrow $\[{{3}^{x-1}}+\left( x-1 \right)=3y+{{\log }_{3}}\left( 3y \right)\].

Đặt ${{3}^{x-1}}=u\Rightarrow x-1={{\log }_{3}}u\,,\left( u>0 \right)$, suy ra: \[u+{{\log }_{3}}u=3y+{{\log }_{3}}\left( 3y \right)\]. $\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ trên $\left( 0;+\infty  \right)$.

Ta có: ${f}'\left( t \right)=1+\frac{1}{t\ln 3}>0$, $\forall t>0$ nên từ $\left( * \right)$ suy ra:

$\left( * \right)$$\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( 3y \right)\Leftrightarrow u=3y$

Khi đó ta có: $3y={{3}^{x-1}}\Leftrightarrow y={{3}^{x-2}}$ $\left( ** \right)$

Theo giả thiết: \(\left\{ \begin{array}{l} y \in Z\\ 0 < y \le 2021 \end{array} \right. \Rightarrow 1 \le y \le 2021\), suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l} x \in Z\\ 1 \le {3^{x - 2}} \le 2021 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in Z\\ 0 \le x - 2 \le {\log _3}2021 \approx 6,928 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in Z\\ 0 \le x - 2 \le 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in Z\\ 2 \le x \le 8 \end{array} \right. \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8} \right\}\) (có 7 số)

Từ (**) ta có, ứng với mỗi giá trị của x, cho duy nhất một giá trị của y nên có 7 cặp.