Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(y={f}'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ Có bao nhiêu số tự nhiên n sao cho \(\ln \left( f\left( x \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m \right)>n\) có nghiệm với \(x\in \left( -1;3 \right)\) và \(m\in \left[ 0;13 \right]\)

ĐK \(\ln \left( f\left( x \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m \right)>n\) xác định trên \(\mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow g\left( x \right)=f\left( x \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m>0, \forall x\in \left( -1;3 \right)\)

\(\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+{{x}^{2}}-6x+9\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-{{x}^{2}}+6x-9\)

Vẽ hai đồ thị \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=-{{x}^{2}}+6x-9\) trên cùng hệ trục

Suy ra \(g'\left( x \right)\ge 0, \forall x\in \left( -1;3 \right) \Rightarrow g\left( x \right)>g\left( -1 \right)=-\frac{37}{3}+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{37}{3}\)

Xét hàm số \(y=\ln \left( f\left( x \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m \right)\Rightarrow y'=\frac{f'\left( x \right)+{{x}^{2}}-6x+9}{f\left( x \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m}\ge 0\)

Suy ra \(y=\ln \left( f\left( x \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+m \right)\) đồng biến \(\left( -1;3 \right)\)

Để bpt có nghiệm trên \(\left( -1;3 \right)\) thì \(y\left( -1 \right)\le n<y\left( 3 \right) \Leftrightarrow \ln \left( m-\frac{37}{3} \right)\le n<\ln \left( m+9 \right)\)

\(\Leftrightarrow m-\frac{37}{3}\le {{e}^{n}}<m+9\).

Do \(m\in \left[ \frac{37}{3};13 \right]\) nên n=0;1;2.