Tính diện tích S của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a

Gọi H là trọng tam tam giác BCD suy ra AH vuông góc (BCD)

Ta có: 

\(\begin{array}{l} BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \end{array}\)

Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{BCD}}.AH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\) 

Gọi G là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD ta có:  

\(d\left( {G,(ACD)} \right) = d\left( {G,(ABC)} \right) = d\left( {G,(ABD)} \right) = d\left( {G,(BCD)} \right) = r\)

Với r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD.

Mặt khác: \({V_{G.ACD}} + {V_{G.ABC}} + {V_{G.ABD}} + {V_{G.BCD}} = {V_{ABCD}}\) 

Mà: \({S_{ACD}} = {S_{ABC}} = {S_{ABD}} = {S_{BCD}}\)  

Suy ra: \({V_{G.ACD}} = {V_{G.ABC}} = {V_{G.ABD}} = {V_{G.BCD}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{V_{G.BCD}} = {V_{ABCD}} \Rightarrow 4.\frac{1}{3}{S_{BCD}}.d(G,(BCD)) = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\\ \Rightarrow d(G,(BCD)) = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = r \end{array}\)

Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp tứ diện là: \(S = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{6}.\) 

Lưu ý: Ở trên là cách giải tổng quát, với tứ diện đều ta có thể áp dụng ngay công thức bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(\frac{h}{4}\) với h là chiều cao của tứ diện.