Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3m. Chiều cao SO=6m (SO vuông góc với mặt đáy).

Phương trình của parapol có dang: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A(0;6), B(1;3), C(3;0) nên có phương trình là: \(y = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6\)

Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện lục giác là BM.

Đặt t=Om thì ta có:

\(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6 = t \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = 2t + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} \pm \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)

\( \Rightarrow BM = \frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)

Khi đó, diện tích của thiết diện lục giác bằng: \(S(t) = 6.\frac{{B{M^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)^2}\) với \(t \in \left[ {0;6} \right].\)

Vậy thể tích túp liều là: \(V = \int\limits_0^6 {S(t)dt}  = \int\limits_0^6 {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}{{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)}^2}dt}  = \frac{{135\sqrt 3 }}{8}.\)