Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = {x^4} + (6m - 4){x^2} + 1 - m là ba đỉnh của một tam giác vuông

Xét hàm số \(y = {x^4} + (6m - 4){x^2} + 1 - m\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 2(6m - 4)x = {x^3} + (3m - 2)x = x({x^2} + 3m - 2\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} + 3m - 2 = 0\,(*) \end{array} \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} 3m - 2 \ne 0\\ 2 - 3m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}\)  

Loại A và D.

Gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của (*) ta có: \({x_1} = \sqrt {2 - 3m} ;{x_2} = - \sqrt {2 - 3m}\) 

Suy ra:

\(\begin{array}{l} y\left( {{x_1}} \right) = y({x_2}) = {(2 - 3m)^2} + (6m - 4)(2 - 3m) + 1 - m\\ = 4 - 12m + 9{m^2} + 12m - 18{m^2} - 8 + 12m + 1 - m\\ = - 9{m^2} + 11m - 3 \end{array}\)   

Tọa độ 3 điểm cực trị là: \(A(0;1 - m);{\bf{B}}( - \sqrt {2 - 3m} ; - 9{m^2} + 11m - 3);C(\sqrt {2 - 3m} ; - 9{m^2} + 11m - 3);\) Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương ta có tam giác ABC cân tại A, nên nếu ABC vuông thì vuông tại A.

Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(M(0; - 9{m^2} + 11m - 3)\)   

Ta có: \(BC//Ox \Rightarrow BC = 2\sqrt {2 - 3m}\)  

AM thuộc Oy nên: \(AM = \left| { - 9{m^2} + 11m - 3 - 1 + m} \right| = \left| { - 9{m^2} + 12m - 4} \right|\) 

Do ABC là tam giác vuông nên: \(AM = \frac{1}{2}BC \Leftrightarrow \left| { - 9{m^2} + 12m - 4} \right| = \sqrt {2 - 3m}\) 

Thay giá trị m ở câu B và C ta thấy \(m=\frac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.