Biết rằng đồ thị hàm số y=(3a^2-1)x^3-(b^3+1)x^2+3c^2x+4d có hai điểm cực trị là (1;-7) và (2;-8). Hãy xác định tổng M=a^2+b^2+c^2+d^2

Ta có \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2;8} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {3{a^2} - 1} \right) - \left( {{b^3} + 1} \right) + 3{c^2} + 4d =  - 7}\\{8\left( {3{a^2} - 1} \right) - 4\left( {{b^3} + 1} \right) + 6{c^2} + 4d =  - 7}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{a^2} - {b^3} + 3{c^2} + 4d =  - 5\left( * \right)}\\{24{a^2} - 4{b^3} + 6{c^2} + 4d = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow 21{a^2} - 3{b^3} + 3{c^2} = 9\left( 1 \right)\)

\(y' = \left( {9{a^2} - 3} \right){x^2} - \left( {2{b^3} + 2} \right)x + 3{c^2}\)

Các điểm \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2; - 8} \right)\) là cực trị của đồ thị hàm số nên \(y'\left( 1 \right) = y'\left( 2 \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{a^2} - 2{b^3} + 3{c^2} = 5\left( 2 \right)}\\{36{a^2} - 4{b^3} + 3{c^2} = 16\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{21{a^2} - 3{b^3} + 3{c^2} = 9}\\{9{a^2} - 2{b^3} + 3{c^2} = 5}\\{36{a^2} - 4{b^3} + 3{c^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 1}\\{{b^3} = 8}\\{{c^2} = 4}\end{array}} \right.\)

Thế vào (*) ta được \(d =  - 3\) \( \Rightarrow M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 1 + {2^2} + 4 + {\left( { - 3} \right)^2} = 18.\)