Tìm m để hàm số y=mx^3-3mx^2-3x+2 nghịch biến trên R và đồ thị của nó không có tiếp tuyến song song với trục hoành

Với m=0 ta có: \(y=-3x +2\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \(y' = 3m{x^2} - 6mx - 3 = 3(m{x^2} - 2mx - 1)\)

Hàm số nghịch biến trên  \(\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ {m^2} + m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ - 1 \le m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m < 0.\)

Đồ thị hàm số không có tiếp tiếp song song với trục hoành khi khi \(y' \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}.\) 

Ta thấy với m=-1 thì \(y'=0\Leftrightarrow x=-1\) do đó loại m=-1.

Vậy giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: \(-1< m\leq 0\)