Tìm khoảng cách lớn nhất giữa hai đường thẳng B C' và AC' biết lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có A(a;0;0),B( - a;0;0),C( - a;0;b) với a b, là các số dương thay đổi thỏa mãn a + b = 4

Ta có \(A(a;0;0),B( - a;0;0),C(0;1;0),B'( - a;0;b)\)

Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng nên \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \Rightarrow C'(0;1;b)\)

Đường thẳng AC’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - a;1;b)\) và đi qua A

Đường thẳng B’C có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = (a;1; - b)\) và đi qua B’

Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&b\\ 1&{ - b} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} b&{ - a}\\ { - b}&a \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - a}&1\\ a&1 \end{array}} \right|} \right) = ( - 2b;0; - 2a)\) 

Và \(AB' = ( - 2a;0;b) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|} \right| = \left| {( - 2b)( - 2a) - 2ab} \right| = 2|ab|\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’, B’C là \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overline {{u_1}} ;\overline {{u_2}} } \right].\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|} \right|}}{{\left| {\left[ {\overline {{u_1}} ;\overline {{u_2}} } \right]} \right|}}\)

\(d = \frac{{2|ab|}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{b^2}} }} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le \frac{{ab}}{{\sqrt {2ab} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 .2\sqrt {ab} }} \le \frac{{a + b}}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .\)

\(\Rightarrow {d_{\max }} = \sqrt 2 .\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a = b = 2\) (Đánh giá trên áp dụng bất đẳng thức Cosi).