ừ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N. Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng MN=4

Mặt cầu (S) có tâm I(5;-3;5), bán kính \(R = 2\sqrt 5 .\)

Ta giác IMN vuông tại N nên \(IM = \sqrt {I{N^2} + M{N^2}}  = \sqrt {20 + 16}  = 6\)

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P): \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5 - 2.\left( { - 3} \right) + 2.5 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 6 = IM\)

Do đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Ta có: Đường thẳng IM đi qua I(5;-3;5) vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm VTCP nên có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 3 - 2t\\z = 5 + 2t\end{array} \right.\)

\(M \in IM \Rightarrow M\left( {t + 5; - 3 - 2t;2t + 5} \right)\)

Mà \(M \in \left( P \right) \Rightarrow t + 5 - 2\left( { - 2t - 3} \right) + 2\left( {2t + 5} \right) - 3 = 0 \Rightarrow t =  - 2 \Rightarrow M\left( {3;1;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {11} .\)