Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = sqrt {1 + x} + sqrt {3 - x} - sqrt {x + 1} .sqrt {3 - x}

Đặt

$t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} \,(t \ge 0) \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2$

Mặt khác:  

$2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \le \left( {1 + x} \right) + \left( {3 - x} \right) = 4 \Rightarrow {t^2} \le 8 \Rightarrow t \le 2\sqrt 2$

$\Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$

Ta có:  $\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = \frac{{{t^2} - 4}}{2}$

$\Rightarrow \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = t - \frac{{{t^2} - 4}}{2} = - \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2$

Xét hàm số $f(t) = - \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2$ trên $\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$

Ta có:  $f'(t) = - t + 1 \Leftrightarrow t = 1 \notin \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$

$f(2) = 2$

$f(2\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 - 2$

$\Rightarrow \mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} = \mathop {\min f(t)}\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2$