Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right).$

Điều kiện: $2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 2$  

Khi đó:

$\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right)\\  \Leftrightarrow {x^2} + 1 > 2x + 4\left( {do\frac{3}{4} < 1} \right) \end{array}\\ { \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x <  - 1}\\ {x > 3} \end{array}} \right..} \end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: $S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right).$