YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bốn hoa, nhóm này định bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m. Phần diện tích \(S_1, S_2\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \(S_3, S_4\) dùng để trồng cỏ.

    Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/ 1m2 kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/ m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

    • A. 3.000.000 đồng.
    • B. 3.270.000 đồng.
    • C. 5.790.000 đồng.
    • D. 6.060.000 đồng.

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    ABCD là hình vuông cạnh 4 nên \(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}}  = 4\sqrt 2  \Rightarrow OB = 2\sqrt 2 \) và A(-2;2); B(2;2).

    Phương trình đường tròn tâm O bán kính \(r = 2\sqrt 2 \) là \({x^2} + {y^2} = 8 \Rightarrow y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

    Parabol đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;2} \right),B\left( {2;2} \right)\) và có đỉnh O(0;0;0) có dạng \(y=ax^2\) (\(a \ne 0\))

    Khi đó \(2 = a{.2^2} \Rightarrow a = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}{x^2}\) (P) 

    Từ đồ thị ta có \(S_1\) là giới hạn của hai đồ thị hàm số \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \) và \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và hai đường thẳng x = - 2, x = 2.

    Nên ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}}  - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx}  - \left. {\frac{1}{6}{x^3}} \right|_{ - 2}^2 = I - \frac{8}{3}\) 

    Xét \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx} \), đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 \cos tdt\) 

    Đổi biến số \(x =  - 2 \Rightarrow t =  - \frac{\pi }{4};x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\) 

    Từ đó \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt}  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {8{{\cos }^2}tdt}  = 4\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt}  = 4t + \left. {2\sin 2t} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = 2\pi  + 4\) 

    Nên \({S_1} = I - \frac{8}{3} = 2\pi  + 4 - \frac{8}{3} = 2\pi  + \frac{4}{3}\) 

    Lại thấy \({S_1} = {S_2};{S_3} = {S_4}\) (vì hai parabol đối xứng nhau qua đỉnh O), diện tích cả bốn hoa là \(S = \pi {r^2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi \).

    Từ đó diện tích trồng hoa là \({S_1} + {S_2} = 2{S_1} = 4\pi  + \frac{8}{3}\left( {{m^2}} \right)\) 

    Diện tích trồng cỏ là \({S_3} + {S_4} = S - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 4\pi  - \frac{8}{3}\left( {{m^2}} \right)\) 

    Nên tổng số tiền trồng bồn hoa là \(\left( {4\pi  + \frac{8}{3}} \right).150000 + \left( {4\pi  - \frac{8}{3}} \right).100000 \approx 3274926\) đồng.

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 66913

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF