Ở mặt nước, một nguồn sóng đặt tại điểm O dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Sóng truyền trên mặt nước có bước sóng λ. Chọn hệ tọa độ vuông góc Oxy (thuộc mặt nước). Hai điểm P và Q nằm trên Ox, P dao động ngược pha với O còn Q dao động cùng pha với O. Giữa khoảng OP có 4 điểm dao động ngược pha với O, giữa khoảng OQ có 8 điểm dao động ngược pha với O. Trên trục Oy có điểm M sao cho góc PMQ đạt giá trị lớn nhất. Tìm số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MQ?

Điểm P dao động ngược pha với nguồn, giữa \(OP\) có 4 điểm ngược pha với O, ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}} \Delta {{\varphi }_{P}}=\frac{2\pi .OP}{\lambda }=\left( 2k+1 \right)\pi ;k=4 \\ \Rightarrow OP=4,5\lambda \\ \end{array}\)

Điểm P dao động cùng pha với nguồn, giữa OQ có 8 điểm ngược pha với nguồn \(\to k=8\)

\(\Delta {{\varphi }_{Q}}=\frac{2\pi .OQ}{\lambda }=8.2\pi \Rightarrow OQ=8\lambda \)

Ta có hình vẽ:

Ta có:  \(\widehat{PMQ}=\widehat{OMQ}-\widehat{OMP}\Rightarrow \tan \widehat{PMQ}=\tan \left( \widehat{OMQ}-\widehat{OMP} \right)\)

\(\Rightarrow \tan \widehat{PMQ}=\frac{\tan \widehat{OMQ}-\tan \widehat{OMP}}{1+\tan \widehat{OMQ}.\tan \widehat{OMP}}\)

\(\Rightarrow \tan \widehat{PMQ}=\frac{\frac{OQ}{OM}-\frac{OP}{OM}}{1+\frac{OQ}{OM}.\frac{OP}{OM}}=\frac{OM.\left( OQ-OP \right)}{O{{M}^{2}}+OQ.OP}=\frac{OM.PQ}{O{{M}^{2}}+OP.OQ}\)

Đặt \(OM=x\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{x.PQ}{{{x}^{2}}+OP.OQ}\)

Xét \({f}'\left( x \right)=\frac{PQ.\left( {{x}^{2}}+OP.OQ \right)-2x.x.PQ}{{{\left( {{x}^{2}}-OP.OQ \right)}^{2}}}=\frac{-{{x}^{2}}.PQ+PQ.OP.OQ}{{{\left( {{x}^{2}}-OP.OQ \right)}^{2}}}\)

Để \(f{{\left( x \right)}_{\max }}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Rightarrow -{{x}^{2}}.PQ+PQ.OP.OQ=0\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{OP.OQ}=6\lambda \)

Kẻ \(OH\bot MQ\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông \(OMQ\), ta có:

\(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{M}^{2}}}+\frac{1}{O{{Q}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( 6\lambda  \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 8\lambda  \right)}^{2}}}\Rightarrow OH=4,8\lambda \)

Số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MH thỏa mãn:

\(OH\le \left( 2k+1 \right)\lambda \le OM\Rightarrow 4,8\lambda \le \left( 2k+1 \right)\lambda \le 6\lambda \)\(\Rightarrow 1,9\le k\le 2,5\Rightarrow k=2\)

→ trên MH có 1 điểm dao động ngược pha với nguồn

Số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn QH thỏa mãn:

\(OH\le \left( 2k+1 \right)\lambda \le OQ\Rightarrow 4,8\lambda \le \left( 2k+1 \right)\lambda \le 8\lambda \)\(\Rightarrow 1,9\le k\le 3,5\Rightarrow k=1;2;3\)

→ trên QH có 3 điểm dao động ngược pha với nguồn

→ Trên MQ có 4 điểm dao động ngược pha với nguồn