Mạch \(RLC\) mắc nối tiếp, cuộn dây có điện trở trong \(r\). Khi R thay đổi (từ 0 đến ∞) thì giá trị R là bao nhiêu để công suất trong mạch đạt cực đại? (biết trong mạch không xảy ra hiện tượng cộng hưởng).

Hệ số công suất của mạch điện là:

\(\cos \varphi =\frac{R+r}{\sqrt{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{{{\left( R+r \right)}^{2}}}}}\)

Đặt: \(f=1+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{{{\left( R+r \right)}^{2}}}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{f}}\)

Mạch điện tiêu thụ công suất cực đại: \({{P}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( \cos \varphi  \right)}_{\max }}\Rightarrow {{f}_{\min }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\(1+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{{{\left( R+r \right)}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{{{\left( R+r \right)}^{2}}}}=\frac{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}{R+r}\)

\(\Rightarrow {{f}_{\min }}=\frac{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}{R+r}\Leftrightarrow 1=\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{{{\left( R+r \right)}^{2}}}\)

\(\Rightarrow R+r=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|\Rightarrow R=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|-r\)