Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình

Chọn A

Ta có \({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\)\(\Leftrightarrow \)\({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}+1\ge {{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx\)

\(\Leftrightarrow \)\({{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}+{{x}^{2}}+1\ge {{\left( mx \right)}^{3}}+mx\), \(\forall x\in \left[ 1;3 \right]\)\(\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\)\(\Rightarrow \)\({f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\), \(\forall t\in \mathbb{R}\) nên \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(\left( 1 \right)\)\(\Leftrightarrow \)\(f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge f\left( mx \right)\)\(\Leftrightarrow \)\({{x}^{2}}+1\ge mx\)\(\Leftrightarrow \)\(m\le \frac{{{x}^{2}}+1}{x}\), \(\forall x\in \left[ 1;3 \right]\)\(\Leftrightarrow \)\(m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\).

Đặt \(g\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\)\(\Rightarrow \)\({g}'\left( x \right)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}\); \({g}'\left( x \right)=0\)\(\Rightarrow \)\)x=1\).

\(g\left( 1 \right)=2\); \(g\left( 3 \right)=5\)\(\Rightarrow \)\(\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=2\)\(\Rightarrow \)\(m\le 2\).

Suy ra \(S=\left\{ 1;2 \right\}\). Vậy tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng \(3\).