Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng 1.

Chọn D

Ta có \({{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}=1.1.1=1\).

Gọi \(d\) là đường trung bình đi qua \(M\) của \(\Delta BC{B}'\). Suy ra \(d\,\text{//}\,{B}'C\). Suy ra \(d\,\text{//}\,{A}'D\) do cùng song song với \({B}'C\). Suy ra \(d\subset \left( M{A}'D \right)\). Do đó \(K=d\cap BC\) hay \(K\) là trung điểm \(BC\).

Suy ra \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}>{{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'DC}}=\frac{1}{2}{{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\frac{1}{2}\). Do vậy chọn đáp án        D. \(\frac{17}{24}\).

Trong trường hợp có nhiều hơn 1 đáp án lớn hơn \(\frac{1}{2}\). Ta tiến hành tính thể tích khối \({A}'{B}'{C}'{D}'MKCD\) như sau:

Cách 1: \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}={{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'DC}}+{{V}_{D.{A}'{B}'M}}+{{V}_{D.{B}'MKC}}\)

\({{V}_{D.{A}'{B}'M}}=\frac{1}{3}\,.\,DA\,.\,{{S}_{{A}'{B}'M}}=\frac{1}{3}\,.\,1\,.\,\frac{1}{2}\,.\,1\,.\,\frac{1}{2}=\frac{1}{12}\)

\({{V}_{D.{B}'MKC}}=\frac{1}{3}\,.\,DC\,.\,{{S}_{{B}'MKC}}=\frac{1}{3}\,.\,DC\,.\,\frac{3}{4}\,.\,{{S}_{B{B}'C}}=\frac{1}{3}\,.\,1\,.\,\frac{3}{4}\,.\,\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)

Vậy \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{8}=\frac{17}{24}\).

Cách 2: \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}={{V}_{ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{MBK.{A}'AD}}\)

\({{V}_{MBK.A'AD}}=\frac{1}{3}\,.\,AB\,.\,\left( {{S}_{{A}'AD}}+{{S}_{MBK}}+\sqrt{{{S}_{{A}'AD}}.{{S}_{MBK}}} \right)=\frac{1}{3}.\,1\,.\,\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{1}{8}} \right)=\frac{7}{24}\)

Vậy \({{V}_{{A}'{B}'{C}'{D}'MKCD}}=1-\frac{7}{24}=\frac{17}{24}\).