Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,\,b\,\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\) và \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất. Tính \(S=a+b\).

Chọn B

Trong mp tọa độ \(Oxy\), Ta gọi các điểm biểu diễn của các số phức

\(z=x+yi\) là \(M\left( x\,;\,y \right)\);

\(z=-4+0i\) là \({{F}_{1}}\left( -4\,;\,0 \right)\);

\(z=4+0i\) là \({{F}_{2}}\left( 4\,;\,0 \right)\);

Ta có: \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\)\(\Rightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=10\). (1)

\(\left\{ \begin{align} & M{{F}_{1}}^{2}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \\ & M{{F}_{2}}^{2}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow M{{F}_{1}}^{2}-M{{F}_{2}}^{2}=16x\Rightarrow M{{F}_{1}}-M{{F}_{2}}=\frac{8x}{5}\).(2)

Từ (1) và (2), suy ra \(M{{F}_{1}}=5+\frac{4x}{5}\).

Mặt khác \(M{{F}_{1}}^{2}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\)\(\Rightarrow {{\left( 5+\frac{4x}{5} \right)}^{2}}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\).

Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\) là Elip có phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\).

Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc \(\left( E \right)\) sau cho \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất.

Ta gọi các điểm biểu diễn số phức

\(z=6+0i\) là \(A\left( 6\,;\,0 \right)\);

\(z=a+bi\) là \(M\left( a\,;\,b \right)\in \left( E \right)\);

\(z=-5+0i\) là \(C\left( -5\,;\,0 \right)\).

Do đó, \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất khi và chỉ khi \(MA\) lớn nhất.

Dựa, vào hình vẽ trên ta thấy để \(MA\) lớn nhất khi \(M\equiv C\left( -5\,;\,0 \right)\Rightarrow a=-5;\,b=0\Rightarrow S=-5\).